相机标定&去畸变

到目前位置，相机的模型已经建立起来了，以下公式中的矩阵描述了相机的固有参数

$$\begin{bmatrix} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

有时$(u_0, v_0)$也写作$(c_x,c_y)$

以及畸变参数：

$Distortion_{coefficients} = (k_1 k_2 p_1 p_2 k_3)$

决定这两个矩阵的过程，便是相机标定。通常，把摄像机对准一个有很多独立可标识点的物体，在不同角度观看这个物体，进一步可通过每个图像来计算摄像机的相对位置和方向，以及摄像机的内参。

在内参标定完成后，可以建立三维坐标和二维图像的关系：

$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_{x}\dfrac {X_{c}}{Z_{c}}+c_x \\ f_y\dfrac {Y_{c}}{Z_{c}}+c_{y} \end{bmatrix}$$

综合径向畸变和切向畸变，我们总结出去畸变公式：

• Ideal point $(x_u,y_u)$为理想点
• real point $(x_d,y_d)$为实际点
• dr为径向畸变，参数为$\{k_1,k_2,k_3\}$
• dt为切向畸变，参数为$\{p_1,p_2\}$

于是通过下面的变换，可以得到没有畸变的标定结果：

$$\begin{aligned} x_{corrected}=x\left( 1+k_{1}r^{2}+k_{2}r^{4}+k_{3}r^{6}\right)+[ 2p_1xy+p_{2}( r^{2}+2x^{2})] \\ y_{corrected}=y\left( 1+k_{1}r^{2}+k_{2}r^{4}+k_{3}r^{6}\right)+[ p_{1}( r^{2}+2y^{2}) +2p_{2}xy ] \\ (r^2 = x^2 + y^2) \end{aligned}$$

等式右边的$(x,y)$为得到的图像中的理想点，但是存在畸变，于是把其带入等式右边，经过径向和切向变换后，得到左边的畸变校正后的实际点坐标$(x_{corrected},y_{corrected})$，取出对应颜色值作为$(x,y)$的颜色值即可。通过去畸变，可以完成图像的矫正，如下图：