04-坐标变换

下面详细推导下3个坐标系之间的对应关系：

1. 世界->相机

$X_wY_wZ_w >> X_cY_cZ_c$

设已知某点P在世界坐标系中的坐标$P_w=(X_w,Y_w,Z_w)^T$，求其在相机坐标系中的坐标$P_c=(X_c,Y_c,Z_c)^T$，则可由世界坐标系，先经过平移$t$，然进行旋转$R$ 得到$P$点在相机坐标系中的表达。

$$\begin{bmatrix} Xc \\ Yc \\ Zc \end{bmatrix} = R \cdot \begin{bmatrix} Xw \\ Yw \\ Zw \end{bmatrix} + t$$

合并为齐次矩阵表达如下：

$$\begin{bmatrix} Xc \\ Yc \\ Zc \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R & t \\ \overrightarrow {O} & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} Xw \\ Yw \\ Zw \\ 1\end{bmatrix}$$

$\overrightarrow {O}$表示全0的向量，$t$为3x1的平移向量（Translation Vector），$R$为3x3的旋转矩阵（Rotation Matrix）。具体的旋转矩阵R如何生成，以后在外参标定中再展开。

2. 相机->图像

$X_cY_cZ_c >> xy$

要想知道相机坐标系与像素坐标系的关系，必须先引入图像坐标系，即先求出相机坐标系下的点$P(X_c,Y_c,Z_c)$在图像坐标系下的表达 $p(x,y)$ 。利用相似三角形以及比例的原理，有以下推导及公式：

$\dfrac {x}{f}=\dfrac {X_c}{Z_c}$

$\dfrac {y}{f}=\dfrac {Y_c}{Z_c}$

继而

$x=\dfrac {fX_c}{Z_c}$ and $y=\dfrac {fY_c}{Z_c}$

转换成矩阵相乘如下，其中$f$为有效焦距（光心到图像平面的距离），$(X_c,Y_c,Z_c,1)^T$是空间点$P$在相机坐标系的齐次坐标，$(x,y,1)^T$是图像点$p$在图像坐标系中的齐次坐标。

$$Z_c\cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} X_c \\ Y_c \\ Z_c \\ 1 \end{bmatrix}$$

系数$Z_c$有时也称之为$s$（比例因子，不为0），其值越小，相同$XY$下的对应的$xy$越大（同一物体，理相机越近，成像越大）。

3. 图像->像素

$xy >> uv$

根据在图像中点$p$的坐标$xy$，得到其在像素坐标系即我们所能看到的图片像素中的位置$uv$

$d_x$像素宽度，$d_y$像素高度分别表示每个像素在水平$u$和竖直$v$方向上的实际物理尺寸（单位mm），即每个感光芯片的实际大小。由于单个像素点投影在图像平面上并非正方形而是矩形，故而$d_x!=d_y$。假设图像坐标系中心在像素坐标系的表达为$u_0,v_0$，图像上的投影点$p(x,y)$在像素坐标系下可有如下表示：

$$u=\dfrac {x}{d_x} + u_{0}$$

$$v=\dfrac {y}{d_y} + v_{0}$$

转换为矩阵相乘，$(x,y,1)^T$是投影点$p$在图像坐标系的齐次坐标，$(u,v,1)^T$是点$p$在像素坐标系中的齐次坐标，即：

$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \dfrac {1}{dx} & o & u_{0} \\ 0 & \dfrac {1}{dy} & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}\\ \end{aligned}$$

综合: 世界->像素

综合以上三个转换，可合并为以下转换关系：

$$Z_c\begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac {1}{dx} & o & u_{0} \\ 0 & \dfrac {1}{dy} & v_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R & t \\ \overrightarrow {O} & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} Xw \\ Yw \\ Zw \\ 1\end{bmatrix}$$

合并等式右边的前两个转换关系（相机->图像，图像->像素），直接表示为相机->像素的转换矩阵后，表达为：

$$Z_c\begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_x & 0 & u_0 & 0 \\ 0 & f_y & v_0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R & t \\ \overrightarrow {O} & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} Xw \\ Yw \\ Zw \\ 1\end{bmatrix}$$

其中，$f_x=\dfrac {f}{d_x}, f_y=\dfrac {f}{d_y}$ 可以理解为焦距$f$分别在$x, y$轴方向等价的像素个数（每个像素的物理尺寸为$dx \times dy$，单位为mm）。以上等式右边，第一个矩阵（Intrinsic Matrix）即为相机内参，描述了物理世界与相片像素之间的对应关系；第二个矩阵（Extrinsic Matrix）即为相机外参，描述了世界坐标系（比如机械臂基座或小车）与相机的位置关系。

问题：

已知一款相机佳能80D及镜头参数如下：最高分辨率$6000×4000$，传感器尺寸$22.3×14.9mm$，焦距$f=35mm$，根据相机内参定义，估算相机的内参$f_x,f_y,u_0,v_0$

答案：

选中此区域即可见内容

fx = f / dx = 35 / (22.3/6000) = 9417.040358744
fy = f / dy = 35 / (14.9/4000) = 9395.973154362
u0= 6000 / 2 = 3000
v0= 4000 / 2 = 2000

:::tip

由于制造工艺等因素，相机像素坐标系中心未必与光轴经过的图像坐标系中心重合，即$(u_0,v_0)$并非是像素坐标系的中心，而是在中心附近某个位置，焦距及像素物理尺寸也非绝对精准，故而需要通过实际的内参标定过程，确定相机的内参矩阵。

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