2D坐标系旋转平移总结

案例¶

已知 红点在蓝色坐标系的位置( $x_b$ , $y_b$ )，也知道蓝色坐标系相较于黑色坐标系 旋转的角度θ, 其中 蓝色坐标系的原点在黑色坐标系中的位置为( $\delta x$ , $\delta y$ ).

求解： 红点在黑色坐标系同的位置( $x_a$ , $y_a$ )？

分析推导¶

黑色坐标系分析¶

在黑色坐标系中，我们为这个坐标系取名为A坐标系，红点为 $P$ ，坐标系的原点取名为 $O_a$ 。

我们要求解的是P点在A坐标系中的位置( $x_a$ , $y_a$ )。

其实P点在A坐标系中的位置( $x_a$ , $y_a$ )，就是向量 $\vec {O_aP}$ ，表示为:

$\vec {O_aP} = (x_a, y_a)$

根据向量的特点，我们可以将 $\vec {O_aP}$ 分解为水平和垂直方向的两个向量 $\vec X$ 和 $\vec Y$ :

$\vec {O_aP} = \vec X + \vec Y$

进一步，我们根据向量缩放的特点，可以定义水平和垂直方向的单位向量 $\vec {i_a}$ 和 $\vec {j_a}$ , 那么:

$\vec X = x_a \cdot \vec {i_a}$

$\vec Y = y_a \cdot \vec {j_a}$

Note

$x_a$ 是x方向的数量，其实本质就是P点在A坐标系中的x坐标位置

$y_a$ 是y方向的数量，其实本质就是P点在A坐标系中的y坐标位置

总结以上，我们可以得到:

$\vec {O_aP} = x_a \cdot \vec {i_a} + y_a \cdot \vec {j_a}$

蓝色坐标系分析¶

在黑色坐标系中，我们为这个坐标系取名为B坐标系，坐标系的原点取名为 $O_b$ 。

已知的是 $O_b$ 在A坐标系中的坐标位置为( $\delta x$ , $\delta y$ )。

其实 $O_b$ 在A坐标系中的坐标位置( $\delta x$ , $\delta y$ ) ，就是向量 $\vec {O_aO_b}$ ，表示为:

$\vec {O_aO_b} = (\delta x, \delta y)$

根据向量的三角形法则，我们可以知道:

$\vec {O_aP} = \vec {O_aO_b} + \vec {O_bO_P}$

向量 $\vec {O_aO_b}$ 和向量 $\vec {O_aP}$ 的坐标表示我们都是知道的，现在的问题是 如何表示向量 $\vec {O_bP}$ 的坐标值。

在此处有个误区，大家可能会觉得 $\vec {O_bP} = (x_b, y_b)$ 。

其实不是这样的， $(x_b, y_b)$ 坐标表示的是点 $P$ 在B坐标系中的位置，视角是站在B坐标系上的，此时我们的视角应该是在A坐标系，或者是和A坐标系平行的。

那么，我们可以将B坐标系进行旋转，保证和A坐标系平行。

根据前面旋转部分的推导，我们可以得到:

$\vec {O_bP} = \left[ \begin{matrix} cos(θ) & -sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) \\ \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} x_b \\ y_b \end{matrix} \right]$

综合分析¶

已知:

(1)

$\vec {O_aP} = \vec {O_aO_b} + \vec {O_bO_P}$

(2)

$\vec {O_aP} = (x_a, y_a)$

(3)

$\vec {O_aO_b} = (\delta x, \delta y)$

(4)

$\vec {O_bP} = \left[ \begin{matrix} cos(θ) & -sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) \\ \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} x_b \\ y_b \end{matrix} \right]$

那么:

$(x_a, y_a) = (\delta x, \delta y) + \left[ \begin{matrix} cos(θ) & -sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) \\ \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} x_b \\ y_b \end{matrix} \right]$

正确的格式应该为:

$\left[ \begin{matrix} x_a \\ y_a \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \delta x \\ \delta y \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} cos(θ) & -sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) \\ \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} x_b \\ y_b \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{matrix} x_a \\ y_a \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \delta x \\ \delta y \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} cos(θ)*x_b - sin(θ)*y_b \\ sin(θ)*x_b + cos(θ)*y_b \end{matrix} \right]$

$\left[ \begin{matrix} x_a \\ y_a \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos(θ)*x_b - sin(θ)*y_b + \delta x\\ sin(θ)*x_b + cos(θ)*y_b + \delta y \end{matrix} \right]$

转换成变换矩阵为:

$\left[ \begin{matrix} x_a \\ y_a \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos(θ) & - sin(θ) & \delta x \\ sin(θ) & cos(θ) & \delta y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} x_b \\ y_b \\ 1 \end{matrix} \right]$