3D坐标系旋转Z轴

案例

在三维空间中，已知红色点在蓝色坐标系中的位置为($x_1$, $y_1$, $z_1$).

已知蓝色坐标系是围绕黑色坐标系着Z轴旋转了$\alpha$角度。

求解：红色点在黑色坐标系中的位置($x_2$, $y_2$, $z_2$)

分析与推导

蓝色坐标系

我们将原点定义为O,将红色点定义为P。

红色点在蓝色坐标系中的坐标点，我们可以看做是向量$\vec {OP}$

我们可以将三维空间的点和坐标系的关系理解为一个长方体

根据长方体向量计算经验，我们可以得出以下的结论:

$$\vec {OP} = \vec {X} + \vec {Y} + \vec {Z}$$

其中：

$$\vec {X} = (x_1, 0, 0)$$

$$\vec {Y} = (0, y_1, 0)$$

$$\vec {Z} = (0, 0, z_1)$$

我们采用向量缩放的特点，在X轴方向定义单位向量$\vec {i_a}$, 长度为1，方向沿着X轴正向；在Y轴方向定义单位向量$\vec {j_a}$, 长度为1，方向沿着Y轴正向；在Z轴方向定义单位向量$\vec {k_a}$, 长度为1，方向沿着Z轴正向。那么：

$$\vec {X} = x_a \cdot \vec {i_a}$$

$$\vec {Y} = y_a \cdot \vec {j_a}$$

$$\vec {Z} = z_a \cdot \vec {k_a}$$

其中，$x_a$,$y_a$,$z_a$分别代表的在X，Y，Z方向上的数量，其实他们就是P点在蓝色坐标系中的坐标对应的值$\vec {x_1}$,$\vec {y_1}$,$\vec {z_1}$

那么其实:

$$\vec {X} = x_1 \cdot \vec {i_a}$$

$$\vec {Y} = y_1 \cdot \vec {j_a}$$

$$\vec {Z} = z_1 \cdot \vec {k_a}$$

我们已知的是：

$$\vec {OP} = \vec {X} + \vec {Y} + \vec {Z}$$

那么我们可以得到:

$$\vec {OP} = x_1 \cdot \vec {i_a} + y_1 \cdot \vec {j_a} + z_1 \cdot \vec {k_a}$$

黑色坐标系

我们将原点定义为O,将红色点定义为P。

红色点在黑色色坐标系中的坐标点，我们可以看做是向量$\vec {OP}$

我们可以将三维空间的点和坐标系的关系理解为一个长方体

根据长方体向量计算经验，我们可以得出以下的结论:

$$\vec {OP} = \vec {X} + \vec {Y} + \vec {Z}$$

其中：

$$\vec {X} = (x_2, 0, 0)$$

$$\vec {Y} = (0, y_2, 0)$$

$$\vec {Z} = (0, 0, z_2)$$

我们采用向量缩放的特点，在X轴方向定义单位向量$\vec {i_b}$, 长度为1，方向沿着X轴正向；在Y轴方向定义单位向量$\vec {j_b}$, 长度为1，方向沿着Y轴正向；在Z轴方向定义单位向量$\vec {k_b}$, 长度为1，方向沿着Z轴正向。那么：

$$\vec {X} = x_b \cdot \vec {i_b}$$

$$\vec {Y} = y_b \cdot \vec {j_b}$$

$$\vec {Z} = z_b \cdot \vec {k_b}$$

其中，$x_b$,$y_b$,$z_b$分别代表的在X，Y，Z方向上的数量，其实他们就是P点在黑色坐标系中的坐标对应的值$\vec {x_2}$,$\vec {y_2}$,$\vec {z_2}$

那么其实:

$$\vec {X} = x_2 \cdot \vec {i_b}$$

$$\vec {Y} = y_2 \cdot \vec {j_b}$$

$$\vec {Z} = z_2 \cdot \vec {k_b}$$

我们已知的是：

$$\vec {OP} = \vec {X} + \vec {Y} + \vec {Z}$$

那么我们可以得到:

$$\vec {OP} = x_2 \cdot \vec {i_b} + y_2 \cdot \vec {j_b} + z_2 \cdot \vec {k_b}$$

综合分析

对于向量$\vec {OP}$而言，无论在哪个坐标系，他的大小和方向是不变的，只是观测的坐标系有所变化。

根据前面分析的结论我们可以直接得到:

$$x_1 \cdot \vec {i_a} + y_1 \cdot \vec {j_a} + z_1 \cdot \vec {k_a} = x_2 \cdot \vec {i_b} + y_2 \cdot \vec {j_b} + z_2 \cdot \vec {k_b}$$

推导(1):

式子的两边同时乘以$\vec {i_b}$:

$$x_1 \cdot \vec {i_a} \cdot \vec {i_b} + y_1 \cdot \vec {j_a} \cdot \vec {i_b} + z_1 \cdot \vec {k_a} \cdot \vec {i_b} = x_2 \cdot \vec {i_b} \cdot \vec {i_b} + y_2 \cdot \vec {j_b} \cdot \vec {i_b} + z_2 \cdot \vec {k_b} \cdot \vec {i_b}$$

观察右侧部分中：

$$\vec {i_b} \cdot \vec {i_b} = 1$$

$$\vec {j_b} \cdot \vec {i_b} = 0$$

$$\vec {k_b} \cdot \vec {i_b} = 0$$

因此:

$$x_1 \cdot \vec {i_a} \cdot \vec {i_b} + y_1 \cdot \vec {j_a} \cdot \vec {i_b} + z_1 \cdot \vec {k_a} \cdot \vec {i_b} = x_2 \cdot 1 + y_2 \cdot 0 + z_2 \cdot 0$$

我们可以得出结论:

$$x_2 = x_1 \cdot \vec {i_a} \cdot \vec {i_b} + y_1 \cdot \vec {j_a} \cdot \vec {i_b} + z_1 \cdot \vec {k_a} \cdot \vec {i_b}$$

推导(2):

式子的两边同时乘以$\vec {j_b}$:

$$x_1 \cdot \vec {i_a} \cdot \vec {j_b} + y_1 \cdot \vec {j_a} \cdot \vec {j_b} + z_1 \cdot \vec {k_a} \cdot \vec {j_b} = x_2 \cdot \vec {i_b} \cdot \vec {j_b} + y_2 \cdot \vec {j_b} \cdot \vec {j_b} + z_2 \cdot \vec {k_b} \cdot \vec {j_b}$$

观察右侧部分中：

$$\vec {i_b} \cdot \vec {j_b} = 0$$

$$\vec {j_b} \cdot \vec {j_b} = 1$$

$$\vec {k_b} \cdot \vec {j_b} = 0$$

因此:

$$x_1 \cdot \vec {i_a} \cdot \vec {i_b} + y_1 \cdot \vec {j_a} \cdot \vec {i_b} + z_1 \cdot \vec {k_a} \cdot \vec {i_b} = x_2 \cdot 0 + y_2 \cdot 1 + z_2 \cdot 0$$

我们可以得出结论:

$$y_2 = x_1 \cdot \vec {i_a} \cdot \vec {j_b} + y_1 \cdot \vec {j_a} \cdot \vec {j_b} + z_1 \cdot \vec {k_a} \cdot \vec {j_b}$$

推导(3):

式子的两边同时乘以$\vec {k_b}$:

$$x_1 \cdot \vec {i_a} \cdot \vec {k_b} + y_1 \cdot \vec {j_a} \cdot \vec {k_b} + z_1 \cdot \vec {k_a} \cdot \vec {k_b} = x_2 \cdot \vec {i_b} \cdot \vec {k_b} + y_2 \cdot \vec {j_b} \cdot \vec {k_b} + z_2 \cdot \vec {k_b} \cdot \vec {k_b}$$

观察右侧部分中：

$$\vec {i_b} \cdot \vec {k_b} = 0$$

$$\vec {j_b} \cdot \vec {k_b} = 0$$

$$\vec {k_b} \cdot \vec {k_b} = 1$$

因此:

$$x_1 \cdot \vec {i_a} \cdot \vec {i_b} + y_1 \cdot \vec {j_a} \cdot \vec {i_b} + z_1 \cdot \vec {k_a} \cdot \vec {i_b} = x_2 \cdot 0 + y_2 \cdot 0 + z_2 \cdot 1$$

我们可以得出结论:

$$z_2 = x_1 \cdot \vec {i_a} \cdot \vec {k_b} + y_1 \cdot \vec {j_a} \cdot \vec {k_b} + z_1 \cdot \vec {k_a} \cdot \vec {k_b}$$

综合推导:

已知结论:

$$x_2 = x_1 \cdot \vec {i_a} \cdot \vec {i_b} + y_1 \cdot \vec {j_a} \cdot \vec {i_b} + z_1 \cdot \vec {k_a} \cdot \vec {i_b}$$

$$y_2 = x_1 \cdot \vec {i_a} \cdot \vec {j_b} + y_1 \cdot \vec {j_a} \cdot \vec {j_b} + z_1 \cdot \vec {k_a} \cdot \vec {j_b}$$

$$z_2 = x_1 \cdot \vec {i_a} \cdot \vec {k_b} + y_1 \cdot \vec {j_a} \cdot \vec {k_b} + z_1 \cdot \vec {k_a} \cdot \vec {k_b}$$

通过矩阵转换为:

$$\left[\begin{matrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \vec {i_a} \cdot \vec {i_b} & \vec {j_a} \cdot \vec {i_b} & \vec {k_a} \cdot \vec {i_b} \\ \vec {i_a} \cdot \vec {j_b} & \vec {j_a} \cdot \vec {j_b} & \vec {k_a} \cdot \vec {j_b} \\ \vec {i_a} \cdot \vec {k_b} & \vec {j_a} \cdot \vec {k_b} & \vec {k_a} \cdot \vec {k_b} \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{matrix}\right]$$

(1): $\vec {i_a} \cdot \vec {i_b}$

$$\vec {i_a} \cdot \vec {i_b} = 1 \cdot 1 \cdot cos(\alpha)$$

$$\vec {i_a} \cdot \vec {i_b} = cos(\alpha)$$

(2): $\vec {j_a} \cdot \vec {i_b}$

$$\vec {j_a} \cdot \vec {i_b} = 1 \cdot 1 \cdot cos(90°+\alpha)$$

$$\vec {j_a} \cdot \vec {i_b} = -sin(\alpha)$$

(3): $\vec {k_a} \cdot \vec {i_b} $

$$\vec {k_a} \cdot \vec {i_b} = 1 \cdot 1 \cdot cos(90°)$$

$$\vec {k_a} \cdot \vec {i_b} = 0$$

(4): $\vec {i_a} \cdot \vec {j_b}$

$$\vec {i_a} \cdot \vec {j_b} = 1 \cdot 1 \cdot cos(90°-\alpha)$$

$$\vec {i_a} \cdot \vec {j_b} = sin(\alpha)$$

(5): $\vec {j_a} \cdot \vec {j_b}$

$$\vec {j_a} \cdot \vec {j_b} = 1 \cdot 1 \cdot cos(\alpha)$$

$$\vec {j_a} \cdot \vec {j_b} = cos(\alpha)$$

(6): $\vec {k_a} \cdot \vec {j_b}$

$$\vec {k_a} \cdot \vec {j_b} = 1 \cdot 1 \cdot cos(90°)$$

$$\vec {k_a} \cdot \vec {j_b} = 0$$

(7): $\vec {i_a} \cdot \vec {k_b}$

$$\vec {i_a} \cdot \vec {k_b} = 1 \cdot 1 \cdot cos(90°)$$

$$\vec {i_a} \cdot \vec {k_b} = 0$$

(8): $\vec {j_a} \cdot \vec {k_b}$

$$\vec {j_a} \cdot \vec {k_b} = 1 \cdot 1 \cdot cos(90°)$$

$$\vec {j_a} \cdot \vec {k_b} = 0$$

(9): $\vec {k_a} \cdot \vec {k_b}$

$$\vec {k_a} \cdot \vec {k_b} = 1 \cdot 1 \cdot cos(0°)$$

$$\vec {k_a} \cdot \vec {k_b} = 1$$

综上所述:

$$\left[\begin{matrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) & 0 \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{matrix}\right]$$