3D坐标系平移

案例

已知 红色点在蓝色坐标系的位置为($x_1$, $y_1$,$z_1$)

蓝色坐标系的原点在黑色坐标系中的位置为($\delta x$,$\delta y$, $\delta z$)

求解： 红色点在黑色坐标系中的位置点($x_2$, $y_2$,$z_2$)?

分析与推导

蓝色坐标系

红色点在蓝色坐标系中的位置，我们采用向量的方式来看待：

我们将红色点定义为$P$, 将蓝色坐标系的原点定义为$O_1$.

红色点在蓝色坐标系中的坐标点，我们可以看做是向量$\vec {O_1P}$, 那么：

$$\vec {O_1P} = (x_1, y_1, z_1)$$

黑色坐标系

前面我们已经定义好了蓝色坐标系的原点为$O_1$,我们可以把蓝色坐标系原点坐标采用向量的方式来看待:

我们将黑色坐标系的原点定义为$O_2$.

蓝色坐标系原点在黑色坐标系中的坐标点，我们可以看做向量$\vec {O_2O_1}$,那么:

$$\vec {O_2O_1} = (\delta x, \delta y, \delta z)$$

综合求解

我们要去求解的是：红色点在黑色坐标系中的位置点？

我们用向量方式进行思考，其实求解的就是向量$\vec {O_2P}$.

我们已知的是:

$$\vec {O_2P} = \vec {O_2O_1} + \vec {O_1P}$$

那么:

$$\vec {O_2P} = (\delta x, \delta y, \delta z) + (x_1, y_1, z_1)$$

$$\vec {O_2P} = (\delta x + x_1, \delta y + y_1, \delta z + z_1)$$

也就是:

$$(x_2, y_2, z_2) = (\delta x + x_1, \delta y + y_1, \delta z + z_1)$$

则:

$$\left\{ \begin{aligned} x_2 = \delta x + x_1 \\ y_2 = \delta y + y_1 \\ z_2 = \delta z + z_1 \end{aligned} \right.$$

$$\left\{ \begin{aligned} x_2 = 1 * x_1 + 0 * y_1 + 0 * z_1 + \delta x \\ y_2 = 0 * x_1 + 1 * y_1 + 0 * z_1 + \delta y \\ z_2 = 0 * x_1 + 0 * y_1 + 1 * z_1 + \delta z \\ 1 = 0 * x_1 + 0 * y_1 + 0 * z_1 + 1 \end{aligned} \right.$$

则:

$$\left[\begin{matrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \delta x \\ 0 & 1 & 0 & \delta y \\ 0 & 0 & 1 & \delta z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \cdot \left[\begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ 1 \end{matrix} \right]$$

那么：

$$\vec {P_2} = \vec {P_1}+ \vec {\Delta P}$$