03-极限导数和微积分

极限

$$\lim_{x\to x_0} f(x)$$

from sympy import *  #导入计算库
x, y, z = symbols('x, y, z') #声明变量x,y,z
init_printing(pretty_print=True) #初始化latex显示

$$\lim_{x\to 0} \dfrac {\sin x}{x}$$

limit(sin(x)/x, x, 0)

$$\lim_{x\to \infty} x$$

limit(x, x, oo)  

$$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1}{x}$$

limit(1/x, x, oo)

$$\lim _{x\rightarrow \infty }x^{2}$$

limit(x**x, x, 0)

左极限和右极限

$$\lim_{x\to x_0^+} f(x),\hspace{1cm}\lim_{x\to x_0^-} f(x)$$

limit(1/x, x, 0, dir='+')
limit(1/x, x, 0, dir='-')

导数 (derivative)

导数就是变化率 $$ y=x^{2} $$

diff(x**2, x)
diff(sin(2*x), x)
diff(sin(x**2+2*x),x)

### 导数的求导公式

高等数学真题 (同济大学高等数学)

第二章习题

diff(E**x*(x+sin(x)),x)
diff((2-3*x)**5,x)
diff(ln(x+sqrt(1+x**2)),x)
diff(ln(atan(1/(1+x))),x)
diff(sqrt(1+x**2)*sin(ln(x)),x)

导数的实际意义

多阶导数/高阶导数

多阶导数就是导数的导数

位移的一阶导数是速度，二阶导数是加速度，三阶导数（F=ma）就是力的变化率了，四导就要找到力产生的原因的变化率。

• sin(2x)的二阶导数

diff(sin(2*x), x, 2)

• sin(2x)的三阶导数

diff(sin(2*x), x, 3)

• 用数学的观点看新闻, 新闻要对比着看才有趣.

发改委期待: 房价需要被控制在7000以内, 从2006年开始,曲线不得抬头.让房价的一阶导数小于等于零

发改委期待, 房价虽然上涨,但是看斜率, 让房价的二阶导数小于零,房价上涨的速度变慢了, 我们遏制房价过快上涨的速度,房价可以涨,但上涨的速度要越来越慢

势头这个词用的好! 势头的意思就是速度的速度,可以理解成加速度 ,让房价增长速度的加速度变小,

房价的三阶导数小于0. 如上走势图, 我们开心的看到,房价上涨的速度的加速度真的变小了.

积分 Integrals

积分是求导的逆运算, 已知速度,求距离. 已知加速度,求某个时间段的速度 $$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx $$

integrate(6 * x**5, x)
integrate(sin(x), x)
integrate(log(x), x) 

某个区间的积分 $$ \int_{a}^{b} f(x) dx $$

integrate(sin(x), (x, 0, pi/2))
integrate(x**3, (x, -1, 1))
integrate(cos(x), (x, -pi/2, pi/2))
integrate(exp(-x), (x, 0, oo))
integrate(exp(-x**2), (x, -oo, oo))