向量的缩放

基本概念¶

向量的缩放，有的时候也称之为 向量的数乘.

就是用 一个数字去乘以一个向量 。

数乘的结果还是一个向量。

代数表示¶

例如我们表示一个向量的缩放，我们可以:

$3 \cdot \vec {a}$

Note

以上３是一个数字，代表向量需要缩放的倍数。

$\vec {a}$ 是一个向量，当然向量有大小和方向。

几何意义¶

例如以下是 $\vec {a}$ 向量:

那么 $3 \cdot \vec {a}$ 为:

计算结果为:

特点是:

向量的长度按照一定比例缩放
方向和原来方向平行(同向或方向)

坐标计算¶

向量 $\vec {a}$ 如下:

$\vec {a} = (3, 4)$

现在希望计算 $2 \cdot \vec {a}$ 　。

我们计算过程如下:

$2 \cdot \vec {a} = 2 \cdot (3, 4)$

$2 \cdot \vec {a} = (2 \cdot 3, 2 \cdot 4)$

$2 \cdot \vec {a} = (6, 8)$

公理总结2D¶

已知一个向量 $\vec {v}$ ,它的坐标表示为 (x, y) .现在需要将它缩放λ倍.

计算缩放后的坐标结果:

$λ \cdot \vec {v} = (λ \cdot x, λ \cdot y)$

公理总结3D¶

已知一个向量 $\vec {v}$ ,它的坐标表示为 (x, y, z) .现在需要将它缩放λ倍.

计算缩放后的坐标结果:

$λ \cdot \vec {v} = (λ \cdot x, λ \cdot y, λ \cdot z)$

单位向量¶

单位向量表示¶

x轴的单位向量表示(1, 0, 0)
y轴的单位向量表示(0, 1, 0)
z轴的单位向量表示(0, 0, 1)

缩放的意义¶

例如，向量 $\vec {a}$ 如下:

$\vec {a} = (3, 4)$

由向量的加法我们可以知道，任何一个向量都可以拆分成多个向量的和。

那么在这里我们将 $\vec{a}$ 拆分为两个向量的和：

$\vec {a} = \vec {b} + \vec {c}$

向量是有方向有大小的，此时，我赋予 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 特殊的方向，他们的值自然就是固定的。

$\vec {b} = (3, 0)$

$\vec {c} = (0,4)$

正好这两个向量是垂直的，一个是沿着x轴，一个沿着y轴。

我们按照缩放的原则，将 $\vec {b}$ 和 $\vec {c}$ 进行缩放:

$\vec {b} = 3 \times (1, 0)$

$\vec {c} = 4 \times (0, 1)$

其中， $(1,0)$ 可以表示为x轴方向的单位向量 $\vec {i}$

其中， $(0,1)$ 可以表示为y轴方向的单位向量 $\vec {j}$

那么:

$\vec {b} = 3 \cdot \vec {i}$

$\vec {c} = 4 \cdot \vec {j}$

则:

$\vec {a} = 3 \cdot \vec {i} + 4 \cdot \vec {j}$

向量a的值我(3, 4)，我们最终用上面推导来描述向量a有什么好处呢？

$\vec{a}$ 的值(3,4)是一个向量的描述，而 $3 \cdot \vec {i}$ 将向量拆成了数和单位向量，在后面运算过程中，都会是一些数的运算，而不是向量的整体运算。还有就是，将一个向量差分为垂直的两个向量，在以后运算过程中，单位向量都会抵消，最终变为数的运算，简化了运算逻辑。

代码描述缩放¶

二维¶

import numpy as np
from math import pow, sqrt

a = np.array([3, 6])

# 单位向量
# 2d
# x
x = np.array([1, 0])
# y
y = np.array([0, 1])

a = 3 * x + 6 * y

Note

# 向量 ->加法拆解为 2个向量的和, 拆出的向量是两两垂直
b = np.array([3, 0])
c = np.array([0, 6])
a = b + c
# 多个向量-> 拆解为 数* 单位向量
b = 3 * np.array([1, 0])
c = 6 * np.array([0, 1])

三维¶

import numpy as np
from math import pow, sqrt

# 3d
# x
x = np.array([1, 0, 0])
# y
y = np.array([0, 1, 0])
# z
z = np.array([0, 0, 1])

a = np.array([3, 6, 4])
a = 3 * x + 6 * y + 4 * z